4.8 Tree diagrams

1. 树状图的基本原理

树状图用于展示连续事件的结果与概率，通过"分支相乘（乘法原理）"计算联合概率，"路径相加（加法原理）"计算互斥事件的概率。

基本结构：

• 起点：表示初始状态或第一个实验
• 分支：表示不同结果的可能性，用概率标注
• 节点：表示实验结果后的新状态
• 终点：表示最终结果的概率

2. 放回与不放回的区别

放回情况：每次实验的概率不变，总数不变

不放回情况：每次实验后需更新总数和对应类别数量

关键区别：不放回时顺序会影响最终概率，需要考虑实验的先后顺序

3. 条件概率在树状图中的应用

结合树状图的分支概率，利用公式 \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) 计算条件概率。

计算方法：

• 识别条件事件A的所有路径
• 计算目标事件B在这些路径中的概率
• 求出条件概率的比值

4. 树状图的绘制技巧

绘制步骤：

• 从左到右绘制，第一级分支表示第一个实验
• 每个分支标注对应的概率
• 第二级分支从第一级分支的终点开始
• 确保所有分支概率之和为1

概率标注：每个分支上标注该分支的条件概率

1. 不放回实验技巧

计数更新：

• 每次实验后更新剩余总数
• 更新特定类别剩余数量
• 注意顺序敏感性（先取什么影响后取概率）

计算示例：

• 第一步：\( \frac{k}{n} \)（k个目标，n个总数）
• 第二步：\( \frac{k-1}{n-1} \)（不放回）
• 联合概率：\( \frac{k}{n} \times \frac{k-1}{n-1} \)

2. 放回实验技巧

概率不变：

• 每次实验概率相同
• 总数和类别数量不变
• 联合概率是各步概率的乘积

计算示例：

• 第一步：\( \frac{k}{n} \)
• 第二步：\( \frac{k}{n} \)（放回）
• 联合概率：\( \frac{k}{n} \times \frac{k}{n} = \left(\frac{k}{n}\right)^2 \)

3. 条件概率应用技巧

受限路径：

• 识别所有导致条件事件发生的路径
• 计算这些路径中目标事件发生的概率
• 求出条件概率的比值

公式验证：用条件概率公式验证树状图计算结果

4. 复杂树状图技巧

多级分支：

• 清晰标注各级分支的条件概率
• 注意每个节点的概率归一化
• 逐步计算复杂路径的联合概率

概率标注规范：

• 每个分支标注该分支的条件概率
• 最终路径概率是所有分支概率的乘积
• 边缘概率是到达同一终点的所有路径概率之和

树状图学习的关键要点

1. 图形理解：深刻理解树状图各部分的含义和关系

2. 概率计算：熟练掌握分支相乘和路径相加的计算方法

3. 放回区分：清楚区分放回和不放回的不同计算方法

4. 条件应用：学会在树状图中计算条件概率

5. 实际建模：学会将实际问题转化为树状图模型